Простые числа — одна из базовых тем в математике, с которой обычно знакомятся в школе, но вопросы о простых числах могут возникнуть и во взрослой жизни.
Чтобы понять, что такое простые числа, достаточно разобраться в делителях: число простое, если оно делится только на единицу и само себя. Этим оно отличается от составного, которое имеет больше двух делителей. Важно, что единица не является ни простым, ни составным числом.
Также простое число является натуральным, то есть его можно использовать для счета реальных предметов.
Почему единица не относится к простым и составным
Все дело в количестве делителей. Простое число должно иметь ровно два делителя, а составное — более двух. А у единицы только один делитель — это она сама.
Как проверить, что число простое
Чтобы определить, является ли число простым, смотрят, делится ли оно только на 1 и на себя. Оно не должно делиться на другие натуральные числа.
Пример
Число 29 считается простым, потому что оно не делится без остатка ни на 2, ни на 3, ни на 4, ни на 5. Значит, кроме 1 и 29 других делителей у него нет. А число 27 не является простым, потому что делится не только на 1 и 27, но и на 3 и 9.
Правило нахождения простого числа
Чтобы быстрее проверить число, не нужно перебирать все возможные делители подряд. Достаточно проверить только те числа, которые не превышают квадратный корень из данного числа. Если среди них делитель не нашелся, значит число простое.
Пример
Возьмем то же число 29. Его квадратный корень немного больше 5. Это значит, что достаточно проверить деление на 2, 3, 4 и 5. Если ни одно из этих чисел не делит 29 без остатка, то 29 — простое число.
Таблица простых чисел
Нагляднее всего простые числа можно представить в таблице. Например, соберем все простые числа от 1 до 1000.
Такой большой массив простых чисел вычисляется не вручную, а специальным алгоритмом — решетом Эратосфена.
Решето Эратосфена
Решето Эратосфена — один из самых известных алгоритмов в математике. Оно помогает быстро выделить простые числа из ряда натуральных.
В чем суть
Выписывают все натуральные числа подряд, начиная с 2, а затем по очереди вычеркивают составные числа, то есть те, которые делятся на уже найденные простые.
- Сначала число 2 определяют как простое (оно делится только на 1 и на само себя).
- После этого из списка вычеркивают все числа, которые делятся на 2 без остатка. Это 4, 6, 8, 10 и так далее.
- Затем переходят к следующему невычеркнутому числу. Это число 3, и оно тоже простое.
- Далее вычеркивают все числа, кратные 3. Это 6, 9, 12, 15 и другие.
- Потом берут следующее невычеркнутое число, то есть 5, и повторяют тот же принцип.
- Так продолжают до тех пор, пока не будут обработаны все нужные числа. Оставшиеся невычеркнутыми числа и будут простыми.
Бесконечен ли ряд простых чисел
Простые числа не заканчиваются. Сколько бы простых чисел ни было уже найдено, всегда можно обнаружить еще одно.
Одно из самых известных доказательств этого факта принадлежит древнегреческому математику Евклиду. Он описал его в своем труде — «Начала».
В чем суть
Допустим, что простых чисел конечное количество и все они уже известны. Тогда можно перемножить их между собой и прибавить 1. Получится новое число. Оно не будет делиться без остатка ни на одно из простых чисел из исходного списка, потому что при делении на любое из них всегда останется 1.
Например, если представить, что простые числа это только 2, 3 и 5, то их произведение равно 30. Прибавим 1 и получим 31. Это число не делится ни на 2, ни на 3, ни на 5. Значит, либо 31 само является простым, либо у него есть простой делитель, которого не было в нашем списке. В обоих случаях получается противоречие и список простых чисел нельзя считать полным.
Поэтому математики говорят, что простых чисел бесконечно много.
Есть ли порядок в ряде простых числах
На первый взгляд простые числа расположены хаотично. Между ними нет одинакового шага: после 2 идет 3, потом 5, 7, 11, 13, а дальше промежутки начинают меняться.
Хотя простые числа распределены неравномерно, их поведение можно описать. С ростом чисел простые встречаются реже. Среди небольших чисел они попадаются часто, а дальше расстояние между ними в среднем увеличивается. Эту тенденцию описывает распределение простых чисел.
Как считают распределение простых чисел
Для описания этой закономерности используют функцию π(x). Она показывает, сколько простых чисел находится от 1 до числа x.
Например, π(10) = 4, потому что до 10 есть четыре простых числа: 2, 3, 5 и 7. А π(100) = 25.
Математики, среди которых Карл Гаусс, Адриен Лежандр, Пафнутий Чебышев, вывели теорему, согласно которой для больших x количество простых чисел можно примерно оценить формулой:
Эта формула описывает закономерность: чем больше числа, тем меньше среди них доля простых.
С темой распределения простых чисел связана и гипотеза Римана. Ее в 1859 году сформулировал немецкий математик Бернхард Риман, когда изучал связь между простыми числами и специальной математической функцией, которую сегодня называют дзета-функцией Римана.
Если коротко, то эта гипотеза помогает точнее понять, насколько упорядоченно простые числа распределены среди натуральных. До сих пор она остается недоказанной и считается одной из самых известных задач мировой математики.
Простые множители
Простые множители — это простые числа, на которые раскладывается составное число. Иначе говоря, это такие простые числа, при умножении которых получается исходное число.
Например, число 12 можно представить как 2 × 2 × 3. Значит, его простые множители это 2 и 3. А вот число 17 разложить не получится, потому что оно само простое и делится только на 1 и на себя.
Разложение на простые множители используют при сокращении дробей, поиске наибольшего общего делителя и наименьшего общего кратного.
Как разложить число на простые множители
Чтобы разложить число на простые множители, его по очереди делят на простые числа, начиная с самых маленьких. Деление продолжают до тех пор, пока в результате не останется простое число.
Примеры
Разложим число 18.
- Сначала делим его на 2 и получаем 9.
- Затем 9 делим на 3 и получаем 3.
- Так как 3 уже простое число, разложение закончено:
18 = 2 × 3 × 3
Теперь разложим число 60.
- Сначала оно делится на 2, получается 30.
- Затем 30 тоже делится на 2, получается 15.
- После этого 15 делится на 3, остается 5.
- Число 5 простое, значит разложение завершено:
60 = 2 × 2 × 3 × 5
Если число не делится на 2, проверяют следующее простое число, например 3, потом 5, 7 и так далее. Например, 45 не делится на 2, зато делится на 3:
45 = 3 × 15 = 3 × 3 × 5
Главное правило — в конце разложения должны остаться только простые числа. Если среди множителей еще есть составное число, значит разложение не доведено до конца.
Итоги
- Простое число делится только на 1 и на само себя, а составное имеет больше двух делителей.
- Число 1 не относится ни к простым, ни к составным, потому что у него только один делитель.
- Проверить, простое ли число, можно с помощью делителей. Для быстрой проверки достаточно рассмотреть числа до квадратного корня.
- Найти сразу много простых чисел помогает решето Эратосфена, один из самых известных математических алгоритмов.
- Ряд простых чисел бесконечен.
- Простые числа распределяются по числовому ряду неравномерно. Чем больше числа, тем реже среди них встречаются простые.
- Простые множители показывают, из каких простых чисел состоит составное число.
