Сегодня отложим в сторону pandas и scikit-learn и поговорим о концепции, которую многие из вас проходили в школе, а потом благополучно забыли. И очень зря! Потому что эта простая идея лежит в основе многих процессов, с которыми специалисты по машинному обучению сталкиваются каждый день.
Речь пойдет об арифметической прогрессии. Разберемся, как эта школьная тема помогает нам понимать все: от накопления на мечту до тренировки нейронных сетей.
Арифметические прогрессии окружают нас везде
Представьте, что вы решили откладывать деньги. В первый месяц — 1000 рублей. Во второй — 1100. В третий — 1200. Каждый месяц вы увеличиваете сумму на фиксированные 100 рублей. Или другой пример: вы начали бегать. В первую неделю вы пробежали три километра, а каждую следующую неделю увеличиваете дистанцию на 500 метров.
В обоих случаях вы столкнулись с арифметической прогрессией. Это последовательность, где каждый следующий элемент отличается от предыдущего на одну и ту же величину. Это паттерн. А поиск паттернов и закономерностей — это и есть суть машинного обучения. Понимание таких простых, линейных паттернов — это фундамент, на котором строятся более сложные модели.
Что такое арифметическая прогрессия?
Если говорить формально, арифметическая прогрессия — это числовая последовательность, в которой каждый член, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же числом.
А если по-человечески, представьте, что вы идете по лестнице. Каждый ваш шаг — это шаг на следующую ступеньку. Если все ступеньки одинаковой высоты, то вы движетесь по арифметической прогрессии.
Основные элементы прогрессии
У любой арифметической прогрессии есть два ключевых параметра:
- Первый член (a₁). Это ваша отправная точка, та ступенька, с которой вы начинаете свой путь. В примере с накоплениями a₁ = 1000 рублей.
- Разность (d). Это «размер шага». Та самая фиксированная величина, которую вы прибавляете. Высота каждой ступеньки. В примере с накоплениями d = 100 рублей.
Разность d может быть:
- Положительной (d > 0). Прогрессия возрастает. Вы поднимаетесь по лестнице (1, 3, 5, 7…).
- Отрицательной (d < 0). Прогрессия убывает. Вы спускаетесь по лестнице (10, 7, 4, 1, -2…).
- Равной нулю (d = 0). Прогрессия стационарна. Вы стоите на месте (5, 5, 5, 5…).
Давайте визуализируем это. Вот простая прогрессия, где a₁ = 2 и d = 3.
Главный инструмент: формула n-го члена
Хорошо, а если я хочу узнать, сколько денег я отложу на 24-й месяц (через два года)? Неужели мне придется 23 раза прибавлять по 100 рублей? Конечно, нет. Для этого есть элегантная формула.
Давайте выведем ее сами:
- Второй член: a₂ = a₁ + d
- Третий член: a₃ = a₂ + d = (a₁ + d) + d = a₁ + 2d
- Четвертый член: a₄ = a₃ + d = (a₁ + 2d) + d = a₁ + 3d
Заметили закономерность? Чтобы получить n-й член (aₙ), нам нужно к первому члену (a₁) прибавить разность (d) ровно n-1 раз.
Отсюда и формула n-го члена арифметической прогрессии:
aₙ = a₁ + d * (n — 1)
Пример: Сколько денег мы отложим на 24-й месяц?
- a₁ = 1000 (стартовая сумма)
- d = 100 (ежемесячное увеличение)
- n = 24 (номер месяца)
a24 = 1000 + 100 * (24 — 1) = 1000 + 100 * 23 = 1000 + 2300 = 3300 рублей.
Всего одна формула, и никаких утомительных сложений!
Считаем все и сразу: сумма первых n членов
Теперь задача поинтереснее. А сколько всего денег у нас будет через 24 месяца? То есть нам нужно сложить a₁ + a₂ + … + a₂₄. Опять сидеть с калькулятором? Нет, и для этого есть гениальное решение.
Легенда о маленьком Гауссе
Говорят, что в XVIII веке учитель математики, чтобы занять детей надолго, дал им задание: сложить все числа от 1 до 100. Пока все усердно пыхтели, складывая 1+2=3, 3+3=6 и так далее, маленький мальчик по имени Карл Фридрих Гаусс (будущий «король математиков») через минуту дал правильный ответ.
Как он это сделал? Он заметил кое-что интересное. Если записать сумму дважды, в прямом и обратном порядке, получается:
S = 1 + 2 + 3 + … + 98 + 99 + 100 S = 100 + 99 + 98 + … + 3 + 2 + 1
А теперь сложим эти два уравнения почленно (каждое число с тем, что под ним):
2S = (1+100) + (2+99) + (3+98) + … + (98+3) + (99+2) + (100+1) 2S = 101 + 101 + 101 + … + 101 + 101 + 101
Сколько раз мы получили 101? Ровно 100 раз (потому что у нас 100 чисел).
2S = 101 * 100 S = (101 * 100) / 2 = 5050
Гениально! Этот трюк работает для любой арифметической прогрессии.
Формула суммы через первый и последний члены
Обобщая метод Гаусса, мы получаем первую формулу суммы. Сумма Sₙ равна среднему арифметическому первого и последнего члена, умноженному на количество членов.
Sₙ = (a₁ + aₙ) * n / 2
Пример: Сколько всего денег мы накопим за 24 месяца?
- a₁ = 1000
- a24 = 3300 (мы уже посчитали)
- n = 24
S24 = (1000 + 3300) * 24 / 2 = 4300 * 12 = 51600 рублей.
Формула суммы через первый член и разность
А что делать, если мы не знаем или не хотим считать последний член aₙ? Не проблема! У нас же есть формула для aₙ. Давайте подставим ее в формулу суммы:
Sₙ = (a₁ + (a₁ + d * (n — 1))) * n / 2
Упрощаем и получаем вторую, не менее полезную формулу:
Sₙ = (2a₁ + d * (n — 1)) * n / 2
Эта формула удобна, когда известны только старт (a₁), шаг (d) и количество шагов (n).
Полезные свойства и решение нестандартных задач
Арифметическая прогрессия обладает парой изящных свойств, которые помогают решать задачи, кажущиеся на первый взгляд сложными.
Свойство 1: Характеристическое свойство
Любой член прогрессии (кроме первого и последнего) равен среднему арифметическому своих соседей. aₙ = (aₙ₋₁ + aₙ₊₁) / 2
Это очень логично: если aₙ = aₙ₋₁ + d и aₙ = aₙ₊₁ — d, то, сложив эти два равенства, получим 2aₙ = aₙ₋₁ + aₙ₊₁. Это свойство — основа линейной интерполяции, когда нужно найти значение между двумя известными точками.
Свойство 2: Сумма равноудаленных членов
Сумма членов, равноудаленных от концов прогрессии, постоянна и равна сумме первого и последнего членов: a₁ + aₙ = a₂ + aₙ₋₁ = a₃ + aₙ₋₂ = …
Это как раз то, что заметил Гаусс! 1+100 = 2+99 = 3+98.
Нестандартная задача:
Представим, что в логах вашей модели вы видите, что ошибка на пятой эпохе обучения была 0.8, а на 15-й эпохе — 0.3. Вы предполагаете, что ошибка падала линейно (то есть как арифметическая прогрессия с отрицательной разностью). Какая ошибка была на 1-й эпохе?
- Дано: a5 = 0.8, a15 = 0.3. Найти a₁.
- Запишем через формулу n-го члена: a5 = a1 + d * (5 — 1) = a₁ + 4d = 0.8 a15 = a₁ + d * (15 — 1) = a₁ + 14d = 0.3
- Получили систему из двух линейных уравнений. Вычтем из второго первое: (a₁ + 14d) — (a₁ + 4d) = 0.3 — 0.8 10d = -0.5 d = -0.05 (ошибка падала на 0.05 каждую эпоху)
- Подставим d в первое уравнение: a₁ + 4 * (-0.05) = 0.8 a₁ — 0.2 = 0.8 a₁ = 1.0
- Ответ: начальная ошибка была 1.0.
Видите? Знание этих формул позволяет «путешествовать» по последовательности, зная всего пару точек.
Практические примеры (из жизни и ML)
- Финансы и кредиты. Аннуитетный платеж по кредиту — это сложно. А вот дифференцированный платеж — это чистая арифметика. «Тело» кредита гасится равными долями, а проценты начисляются на остаток. Так как остаток каждый месяц уменьшается на одну и ту же сумму, сумма процентов тоже уменьшается линейно. Ваши ежемесячные платежи образуют убывающую арифметическую прогрессию.
- Физика. Тело, движущееся с постоянным ускорением (например, камень, брошенный вниз), каждую секунду увеличивает свою скорость на одну и ту же величину. Скорость в моменты времени 1с, 2с, 3с… образует арифметическую прогрессию.
- Машинное обучение: Linear Learning Rate Decay. Это самый важный для нас пример. При обучении нейросетей мы используем параметр «скорость обучения» (learning rate, LR). Он определяет, насколько сильно модель меняет свои веса на каждом шаге. Часто бывает полезно начинать с большого LR, а по мере обучения его уменьшать. Один из самых простых и эффективных способов — линейное уменьшение (Linear Decay).
- Мы задаем начальный LR_start (это наш a₁).
- Мы задаем конечный LR_end (это наш aₙ).
- Мы знаем общее число шагов обучения N (это n).
- LR на каждом шаге будет меняться по закону арифметической прогрессии с отрицательной разностью
d = (LR_end — LR_start) / (N — 1).
Модель начинает обучение «смелыми шагами», а затем «притормаживает», чтобы точнее настроиться на минимум функции потерь. И в основе этого лежит наша старая знакомая — арифметическая прогрессия.
Коротко об арифметической прогрессии
Надеюсь, я смог показать, что арифметическая прогрессия — это не просто скучная формула из учебника. Это:
- интуитивно понятный паттерн линейного роста или убывания;
- мощный инструмент для прогнозирования и расчетов, который экономит массу времени;
- фундаментальная концепция, которая внезапно всплывает в самых разных областях — от личных финансов до настройки сложных моделей машинного обучения.
Умение видеть эти простые закономерности — первый шаг к тому, чтобы научиться находить и более сложные, нелинейные зависимости в данных.
