Как решать уравнения первой, второй и высших степеней

Расскажем, что такое уравнение, а также рассмотрим разные способы решения уравнений первой, второй и более высоких степеней.

Что такое уравнение

Уравнение — это равенство, содержащее одно или более неизвестных. Соответственно, уравнения бывают с одним, двумя, тремя и более неизвестными. В этой статье мы будем рассматривать уравнения только с одним неизвестным. Также уравнения можно разделить по степени входящих в него неизвестных. Бывают уравнения первой (линейные), второй (квадратные), третьей (кубические) и более высоких степеней. 

Приведем пример уравнения первой степени: \(2x+1=7\). Решить уравнение — это значит найти все его корни или доказать, что их нет. Корень уравнения — это такое значение неизвестного, которое обращает уравнение в верное числовое равенство. Приведенное выше уравнение имеет один-единственный корень \(x=3\). Действительно, если подставить этот корень вместо x в уравнение, то получится верное равенство \(2*3+1=7\), откуда выходит, что \(7=7\). 

В следующих разделах мы рассмотрим уравнения различных степеней и способы их решения.

Уравнения первой степени

Общий вид таких уравнений \(ax+b=0\). Возьмем уравнение из предыдущего раздела. Видим, что оно не совсем соответствует формуле общего вида. Для приведения уравнения к общему виду нужно перенести 7 из правой части в левую с переменой знака и привести подобные члены:

Из формулы общего вида легко выводится формула корней для таких уравнений:

Сначала мы перенесли свободный член \(b\) в правую часть с противоположным знаком. Чтобы в левой части у нас остался один \(x\), мы разделили обе части на \(a\). Так, уравнение \(2x-6=0\) будет иметь такое решение:

В следующем разделе рассмотрим квадратные уравнения.

Уравнения второй степени

Общий вид таких уравнений \(ax^2+bx+c=0\). Еще такие уравнения называют квадратными. Они бывают разных типов, и для начала давайте коротко рассмотрим эти типы.

Типы квадратных уравнений

Если коэффициент a равен единице, то уравнение называется приведенным. Например, таковым является уравнение \(x^2-2x+1=0\). Бывают случаи, когда коэффициенты \(b\) или \(c\), а то и оба разом равны нулю. Тогда уравнение называют неполным. Примеры неполных квадратных уравнений:

Как видно, в первом уравнении равен нулю свободный член \(c\). Во втором уравнении равен нулю коэффициент \(b\), а в третьем обнулены и \(b\), и \(c\). Понятно, что при \(a=0\) уравнение превратится в линейное. Далее разберем способы решения квадратных уравнений.

Решение неполных квадратных уравнений

Давайте решим все три неполных квадратных уравнения из прошлого подраздела. В первом уравнении сразу выносим \(x\) за скобку:

Известно, что произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю. То есть, или \(x=0\) или \(x+2=0\). Другими словами — один корень мы уже нашли: \(x=0\). Второй корень находим из простейшего уравнения первой степени \(x+2=0\). Здесь мы просто переносим \(2\) в правую часть с противоположным знаком и получаем \(x=-2\). Итак, уравнение имеет два корня: \(x_{1}=0\) и \(x_{2}=−2\).

Для решения второго уравнения можно использовать схему решения линейных уравнений, так как по своей структуре они очень похожи. Переносим \(12\) в правую часть с переменой знака и делим обе части на \(3\), чтобы в левой части остался \(x^2\). Получим:

Значит, \(x=\sqrt4=2\). Так как у нас в уравнении неизвестное присутствует только во второй степени, то подходит еще и значение \(−2\). Таким образом, корнями этого уравнения являются числа \(2\) и \(−2\). 

С третьим уравнением все просто. Никакой корень, кроме нуля, для него не подходит. Действительно, если разделить обе части уравнения на \(2\), то будем иметь:

Откуда получаем, что \(x=\sqrt0=0\). Таким образом выходит, что уравнение имеет один-единственный корень, равный нулю.

Решение квадратных уравнений выделением полного квадрата

Этот метод основан на применении формул сокращенного умножения для разложения уравнения на множители. Разберем этот метод на паре примеров. Решим уравнение \(x^2+10x+25=0\). Видим, что левая часть легко представляется в виде квадрата суммы \(x+5\), поэтому перепишем наше уравнение в таком виде:

Это уравнение равносильно уравнению \(x+5=0\), которое имеет единственный корень \(x=-5\), а значит, и исходное уравнение имеет этот же корень.

Решим еще одно уравнение: \(x^2+14x+45=0\). Чтобы применить формулу квадрата суммы, нам необходимо получить выражение \(x^2+14x+49\) в левой части, так как оно прекрасно представляется в виде квадрата суммы \(x+7\). Чтобы его получить, надо прибавить \(4\) к левой части уравнения, а чтобы оно не изменилось — сразу же его отнять:

Теперь, если представить \(4\) в виде квадрата двойки, можно применить формулу разности квадратов:

Из последнего уравнения легко находим: \(x_{1}=-5\) и \(x_{2}=-9\).

Решение квадратных уравнений через дискриминант

Это самый простой, а потому популярный способ. Дискриминантом называют вот такую формулу:

Слово «дискриминант» в переводе означает «различитель», и назван он так потому, что от его знака зависит количество корней квадратного уравнения. Так, если дискриминант больше нуля, то уравнение имеет два корня, а если дискриминант равен нулю, то уравнение имеет только один корень. При отрицательном дискриминанте уравнение не имеет корней на множестве действительных чисел.

Дискриминант входит в состав формулы корней квадратного уравнения, которая имеет следующий вид:

Давайте решим при помощи этой формулы несколько уравнений. Решим уравнение \(12x^2+7x+1=0\). Найдем дискриминант:

Видим, что дискриминант положителен, а значит уравнение имеет два корня. Вычислим их:

Решим уравнение \(x^2-12x+36=0\). Ищем дискриминант:

Дискриминант равен нулю, а значит, уравнение имеет один корень:

Решим еще одно уравнение:

Вычисляем дискриминант:

Дискриминант отрицательный, а значит, уравнение не имеет корней.

Теорема Виета

Данная теорема гласит, что сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. То есть если нам дано уравнение \(x2+px+q=0\), у которого \(x_{1}\) и \(x_{2}\) — его корни, то сумму корней можно записать как \(x_{1}+x_{2}=-p\), а их произведение — как \(x_{1}x_{2}=q\). Попробуем применить это свойство корней приведенного квадратного уравнения для решения такого уравнения:

Согласно теореме Виета сумму корней данного уравнения можно записать как \(x_{1}+x_{2}=7\), а их произведение, как \(x_{1}x_{2}=10\). Чтобы найти корни уравнения, нужно решить следующую систему уравнений:

Так как при решении данной системы способом подстановки или любым другим, мы путем элементарных преобразований все равно получим исходное уравнение, то получить корни в этом случае можно только методом подбора. Внимательно присмотревшись к системе, можно заметить, что в качестве корней прекрасно подходят числа \(5\) и \(2\). Сделаем проверку, подставив эти числа в уравнение:

Видим, что корни найдены верно.

Уравнения высших степеней

Под уравнениями высших степеней мы будем иметь в виду уравнения степенью выше двух. Рассмотрим способы решения таких уравнений.

Сведение до квадратного уравнения

Иногда левую часть уравнения легко разложить на множители, из которых каждый — не выше второй степени. Другими словами, можно свести некоторые уравнения к квадратным. Давайте попробуем решить уравнение \(x^4+5x^3+6x^2=0\). Многочлен в левой части уравнения легко разлагается на множители: 

Понятно, что одним из корней будет ноль, а остальные корни — это корни квадратного уравнения, которое представлено в виде второго множителя. Решив его, найдем его корни: \(x_{1}=-2\) и \(x_{2}=-3\). Соответственно корнями исходного уравнения будут числа: \(x_{1}=0\), \(x_{2}=-2\) и \(x_{3}=-3\).

Решим уравнение \(x^4-13x^2+36=0\). Перепишем его в виде \((x^2)^2-13x^2+36=0\) и введем новое неизвестное \(z=x^2\). Уравнение примет вид \(z^2-13z+36=0\). Корни его \(z_{1}=9\) и \(z_{2}=4\). Решаем теперь уравнения \(x_{2}=9\) и \(x_{2}=4\). Первое имеет корни \(x_{1}=3\) и \(x_{2}=-3\), а второе — корни \(x_{1}=2\) и \(x_{2}=-2\). Таким образом, корни заданного уравнения это числа \(3\), \(−3\), \(2\) и \(−2\). Так можно решить любое уравнение вида \(ax^4+bx^2+c=0\). Их называют биквадратными.

Решим еще одно уравнение: \(x^6-16x^3+64=0\). Представим его в виде \((x^3)^2-16x^3+64=0\) и введем новое неизвестное \(z=x^3\). Получим уравнение \(z^2-16^z+64=0\), имеющее корень \(z=8\). Теперь надо решить уравнение \(x^3=8\). Здесь можно просто извлечь кубический корень из числа \(8\) и получить \(x=2\), но давайте применим другой подход. Перенесем \(8\) в левую часть с переменой знака. Получим уравнение \(x^3-8=0\). Представим число \(8\) в виде куба двойки и применим формулу разности кубов:

Уравнение \(x-2=0\) имеет единственный корень \(x=2\), а вот квадратное уравнение \(x^2+2x+4=0\) действительных корней не имеет, так как у него отрицательный дискриминант:

Значит, наше исходное уравнение имеет корень \(x=2\).

Схема Горнера

Эта схема позволяет достаточно легко разлагать на множители многочлены высших степеней, входящие в состав уравнения. Но для начала путем подбора нужно найти хотя бы один корень уравнения. Таким образом получаем двучлен вида \(x-a\), где \(a\) — подобранный корень. Далее нужно разделить многочлен в левой части уравнения на \(x-a\). Так мы сможем понизить степень уравнения на единицу. Деление многочлена на двучлен как раз и производится по схеме Горнера.

Для примера решим уравнение \(2x^4+5x^3-11x^2-20x+12=0\). Сначала путем подбора надо найти один корень. Обычно он находится среди делителей свободного члена. Делителями числа \(12\) являются числа \(\pm1, \pm2, \pm3, \pm4, \pm6, \pm12\). Подставляем их по очереди в уравнение и видим, что \(2\) является корнем уравнения. Значит, многочлен в левой части уравнения должен разделиться на двучлен \(x-2\). Для выполнения деления составим такую таблицу:

	2	5	−11	−20	12
2

В верхней строке выписываются коэффициенты исходного многочлена. В первой ячейке второй строки указывается найденный подбором корень. В остальных ячейках будут коэффициенты многочлена, который получится в результате деления. Вторая ячейка второй строки имеет то же содержимое, что и вторая ячейка первой строки. Вписываем туда число \(2\).

Остальные ячейки заполняются по простому правилу: умножаем корень на число в предыдущей ячейке и прибавляем число из смежной ячейки, расположенной в строке выше. Например, для третьей ячейки расчет будет таким: \(2\cdot2+5=9\). А для четвертой — таким: \(2\cdot9-11=7\). В итоге таблица должна принять следующий вид:

	2	5	−11	−20	12
2	2	9	7	−6	0

Мы получили необходимые коэффициенты. Разложение нашего многочлена будет выглядеть так:

Мы получили многочлен третьей степени. Для нас это многовато! Давайте еще понизим степень на единицу. Снова подбираем корень. Из всех делителей числа \(−6\) подходит число \(−2\). В таблицу добавляем третью строку и вписываем найденный корень в ее первую ячейку. Во вторую снова записываем число \(2\). Дальше действуем по тому же правилу. Расчет для третьей ячейки: \(-2\cdot2+9=5\). Для четвертой: \(-2\cdot5+7=-3\). В итоге таблица должна выглядеть так:

	2	5	−11	−20	12
2	2	9	7	−6	0
-2	2	5	−3	0

Теперь разложение многочлена примет такой вид:

То есть теперь нам нужно решить уравнение \((x+2)(x-2)(2x^2+5x-3)=0\). Первые два корня находятся легко из уравнений \(x+2=0\) и \(x-2=0\). Это \(x_{1}=2\) и \(x_{2}=-2\). Остальные корни — это корни квадратного уравнения \(2x^2+5x-3=0\). Решив его, найдем еще два корня: \(x_{3}=-3\) и \(x_{4}=12\).

Полезные ссылки

Математика для программистов: какая нужна на самом деле

НОК и НОД чисел: что это такое и как их найти

8 понятий из математической статистики, без которых не обойтись дата-сайентисту