Чтобы быстро решать трудные задачи, можно разбить их на более мелкие. Именно так работает динамическое программирование. Как и где можно его применять — разбираемся в статье.
Что такое динамическое программирование
Представьте, что вы готовите лазанью. Чтобы получить готовое блюдо, нужно сделать несколько шагов: приготовить соус, обжарить фарш, натереть сыр, а потом все это собрать слоями.
Если бы каждый раз, когда в рецепте встречается соус, вы начинали готовить его заново — это заняло бы кучу времени. Но вместо этого можно приготовить соус один раз, а потом использовать его во всех слоях.
Точно так же работает динамическое программирование (ДП): оно делит задачу на подзадачи. Мы решаем их один раз, «запоминаем» результат, а потом используем столько раз, сколько нужно.
Где применяется динамическое программирование
Динамическое программирование применяют в:
- Экономических моделях: например, чтобы планировать производство, распределять ресурсы и эффективно управлять запасами.
- Геймдизайне: для создания искусственного интеллекта персонажей. Чтобы он мог оценивать множество ходов и находить более выигрышную стратегию.
- Оптимизации маршрутов: в навигационных системах, например Google Maps, алгоритмы на основе динамического программирования помогают находить кратчайший маршрут с учетом пробок и дорожных работ.
- Обработке данных и машинном обучении: например, в задачах по распознаванию речи и обработке естественного языка.
- Биологии и генетике: для сравнения геномов и анализа последовательностей ДНК.
Реальная сфера применения динамического программирования намного шире. Его можно использовать везде, где задача отвечает базовым принципам ДП.
Принципы динамического программирования
Чтобы задачу можно было решить методами динамического программирования, у нее должны быть:
- Оптимальная подструктура: это значит, что задачу можно разделить на множество мелких шагов. Если мы умеем решать их правильно, то и большая задача решается правильно автоматически. Например, если ищем кратчайший путь из точки A в точку D через промежуточные точки, то любой кусочек пути тоже должен быть кратчайшим.
- Пересечение подзадач: при решении задачи одни и те же маленькие шаги могут встречаться несколько раз. Например, в лазанье один и тот же соус используется в разных слоях. Но мы готовим его один раз, чтобы сэкономить время.
Если оба условия выполнены, то в задаче можно использовать методы динамического программирования.
Методы динамического программирования
В ДП есть два основных способа решения задач:
- Мемоизация: сохраняет результаты уже вычисленных подзадач, чтобы не вычислять их повторно.
- Разбиваем задачу на подзадачи.
- Сохраняем результат подзадачи.
- Перед вычислением результата для подзадачи проверяем, есть ли уже сохраненное значение, если да — используем его.
- Табуляция: использует итеративный метод для заполнения таблицы значениями подзадач.
- Создаем таблицу и заполняем ее начальными значениями.
- Заполняем таблицу, начиная с самых простых подзадач и постепенно переходя к более сложным.
- Получаем результат основной задачи в последней ячейке таблицы.
Выбор метода зависит от конкретной задачи. Мемоизация подходит там, где можно использовать рекурсию, а табуляция — где есть итерации.
Пример задачи на динамическое программирование
Классическая задача на ДП — числа Фибоначчи. Это последовательность, где каждое следующее число равно сумме двух предыдущих.
F(0) = 0, F(1) = 1 ,F(n) = F(n−1) + F(n−2) для n≥2
То есть последовательность начинается так:
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, …
А чтобы узнать следующее число, нужно сложить два предыдущих.
Если просто писать формулу, например F(5)=F(4)+F(3), то при вычислении F(4) и F(3) мы снова считаем F(3), F(2) и т.д. Получается, что одни и те же числа считаются несколько раз. Для больших n это занимает очень много времени.
В динамическом программировании можно использовать мемоизацию и табуляцию. Таким образом каждое подзначение считается один раз и используется многократно.
Как решать задачи на динамическое программирование
Если вы хотите решить задачу с помощью ДП:
- Определите подзадачи: нужно понять, как разбить основную задачу на более мелкие. Постарайтесь описать их рекурсивно и убедитесь, что каждая подзадача решается независимо.
- Выберите подход к реализации: мемоизация или табуляция. Мемоизация позволяет избежать повторных вычислений в задачах с рекурсией. Табуляция требует меньше памяти и подходит для итеративных решений.
- Определите базовые случаи: это простейшие подзадачи, которые могут быть решены без дальнейшего разбиения на более мелкие части. Например, в задаче о числах Фибоначчи это F(0) = 0 и F(1) = 1.
- Следите за состоянием: учитывайте все параметры — индексы, значения, переменные. Это поможет избежать избыточных вычислений и повторного решения подзадач.
- Оптимизируйте память: некоторые задачи можно решить с меньшим объемом памяти. Если нужно хранить только несколько предыдущих значений, можно использовать два переменных вместо массива.
Чтобы лучше понять концепцию ДП, попробуйте самостоятельно решить несколько простых задач, например, задачу о рюкзаке или поиск наибольшей общей подпоследовательности. После этого можно переходить к более сложным примерам.
Частые ошибки и как их избежать
Разработчики допускают ошибки в динамическом программировании, когда:
- Неправильно определяют подзадачи: например, когда они не пересекаются или не зависят друг от друга.
- Игнорируют базовые случаи: это приводит к ошибкам и бесконечным рекурсиям.
- Неправильно используют структуры данных: например, используют двумерный массив для хранения результатов подзадач вместо одномерного. Это приводит к избыточному потреблению памяти и усложнению кода.
- Преждевременно завершают алгоритм: такое может произойти из-за неправильной логики выхода из рекурсии/итерации.
- Неправильно интерпретируют результат: не понимают, что именно возвращает алгоритм, и как это можно использовать для решения задачи.
Динамический метод требует внимательности и практики. Но если овладеть им, можно сэкономить много время на решении сложных задач.
Главное о динамическом программировании
- Динамическое программирование делит большую задачу на подзадачи и решает каждую из них один раз, а затем использует эти данные повторно.
- Для использования ДП задача должна иметь оптимальную подструктуру и повторяющиеся подзадачи.
- В ДП есть два основных метода для решения задач: мемоизация и табуляция.
- Классические примеры, которые можно решить с помощью динамического программирования — задача о рюкзаке, числа Фибоначчи и поиск наибольшей общей подпоследовательности.
- Неправильный выбор структуры данных приводит к избыточному потреблению памяти и усложнению кода.
