Вектор

Вектор — это направленный отрезок с длиной и направлением. В математике и физике вектором описывают, например, скорость или силу. В информатике вектором называют упорядоченный набор чисел — структуру данных, с помощью которой алгоритмы работают с признаками и хранят данные.

Простыми словами, векторы нужны для описания реальных и абстрактных сущностей: скорости, действия силы на предмет и так далее. Все эти сущности объединяет наличие размера и направления. С помощью векторов их можно описывать полно или подробно.

Вектор на плоскости или в пространстве — в любой системе координат — можно выразить как набор координат. Этот набор будет максимально точно его описывать. Поэтому вектор можно представить как упорядоченный набор чисел, и этим активно пользуются разработчики, аналитики и другие специалисты. В этом смысле вектор — вроде линии из чисел, и его можно использовать как структуру для хранения данных.

Кто пользуется векторами

• Математики разных направлений. Это одно из базовых понятий линейной алгебры, поэтому оно применяется в очень многих математических формулах и понятиях.
• Физики и другие естественнонаучные специалисты, так как с помощью векторов можно выразить множество формул, описывающих реальный мир.
• Инженеры, которые пользуются формулами, применяющими векторы, в ходе расчетов.
• Специалисты по Data Science, так как вектор — одна из структур, лежащих в основе этого направления.
• Специалисты по машинному обучению, потому что из векторов создаются матрицы, которые в свою очередь используются для хранения данных и обучения моделей.
• Разработчики вычислительного ПО, работающего с теми или иными математическими операциями, и люди, которые пользуются этим ПО.
• Дизайнеры и специалисты по компьютерной графике, которые могут пользоваться векторами для рисования изображений.
• Звукооператоры и звукоинженеры, так как векторы могут применяться при обработке звука.
• Представители любых других профессий, так или иначе связанных с математикой.

Для чего нужны векторы

•  Для математических, физических и иных вычислений: от расчета импульса до рядов Фурье.
• Для графического и математического представления некоторых явлений и операций, например переноса предмета с одного места на другое или силы, приложенной к объекту.
• Для организованного хранения множества числовых данных, а также для операций с этими данными.
• Для представления множества чисел в виде единого объекта, что может быть важно, например в разработке.
• Для описания многомерных структур: у вектора может быть не три измерения, как у обычного геометрического объекта, а бесконечное их количество.
• Для анализа информации: ее можно собрать в векторные структуры, сгруппировать и проанализировать.

Основные свойства и операции с векторами

В школьной математике вектор задают координатами, например \vec a = (x, y) в двумерном пространстве. Если вектор имеет координаты (x, y), его длина находится по формуле:

|\vec a| = √(x² + y²)

С векторами можно выполнять базовые операции:

• Сложение: координаты складываются по компонентам;
• Вычитание: из координат одного вектора вычитаются координаты другого;
• Умножение на число: все координаты вектора умножаются на одно и то же число;
• Скалярное произведение (для продвинутых): позволяет находить угол между векторами и проекцию одного вектора на другой.

Эти операции лежат в основе линейной алгебры и активно используются в геометрии, физике и анализе данных.

Использование векторов в IT

Data Science. Вектор — это одномерная структура данных, которую можно сравнить с направленной линией. Но группа векторов составляет матрицу, и это уже двумерная структура. А матрицы активно используются для хранения данных и применяются в том числе в Data Science. Более того: в этом направлении хватает математики, а математические формулы могут пользоваться векторами и другими базовыми понятиями.

Машинное обучение. Здесь тоже имеет значение использование векторов и матриц. По сути, в основе Machine Learning лежат многомерные структуры — матрицы как они есть. Именно на них строятся модели для обучения, через них передаются и видоизменяются данные.

Работа с изображениями. Наверное, вы слышали словосочетание «векторная картинка» — так называются изображения, которые состоят не из пикселей, а из векторов. В их основе не точки определенного цвета, а линии-векторы, заданные теми или иными формулами. В результате качество таких картинок не ухудшается при изменении размера, но сами они более примитивны, и сложное изображение с полутенями и переливами цвета так не нарисуешь.

Векторная графика активно используется в вебе: с помощью векторов рисуют иконки, малоцветные изображения из четких линий, разнообразные баннеры. С ней имеют дело дизайнеры и фронтендеры.

Трехмерная графика. Рисование иконок — далеко не единственное применение векторов в графике. 3D-специалисты используют векторы для создания сцен и предметов, например для описания освещения. Кроме того, они могут применяться при анимации: с помощью векторов можно описывать движения.

Как устроен вектор

Вектор состоит из чисел, причем в нем может храниться более одного числа. Проще всего его представить как контейнер с множеством числовых данных. Эти числа можно представить как координаты, описывающие некоторую точку или движение, либо просто как набор информации. Важные характеристики вектора — строгий порядок данных и возможность совершать некоторые операции. Векторы можно складывать и вычитать друг из друга, умножать на число, причем такие операции можно изобразить геометрически.

Как писать и изображать векторы

В разных дисциплинах вектор представляют по-разному, но общая суть похожа. Вектор — это стрелка, линия, описанная математически. Его записывают по-разному:

• Имя в виде буквы, над которой изображена линия или стрелка, а после имени — скобки, где через запятую перечислены хранящиеся числа. Например, v(v1, v2, v3… vn);
• Набор чисел в столбик, заключенный в круглые или квадратные скобки;
• Особые готические буквы.

Кроме того, вектор можно нарисовать. Его рисуют как стрелку определенной длины и направления: они зависят от наполнения самого вектора.

Сейчас расскажем подробнее, как вектор изображают в разных дисциплинах.

Вектор в физике

В физике вектор «висит» в пространстве и не привязан жестко к какой-то системе координат. Он может демонстрировать реальные явления: как двигается предмет, как падает луч света или распространяется приложенная сила. Подвиньте чашку на столе: отрезок от ее начальной точки до конечной — вектор. Сила, которую вы для этого приложили, — тоже вектор. Соответственно, на физических схемах векторы рисуют как стрелки — например, от той точки, где начался какой-то процесс, к той, где он закончился. С их же помощью обозначают интенсивность и направление сил, действующих на объект.

Вектор в математике

В математике вектор обычно привязывают к системе координат. Например, для вектора из двух чисел подойдет обычная двумерная система, которой мы пользовались в школе. Там стрелка начинается в точке [0; 0] и заканчивается в точке [x; y], где x и y — числа, хранящиеся в векторе. Получается, что числа описывают и длину, и направление стрелки.

Соответственно, вектор из трех чисел описывается как линия в трехмерной, объемной системе, а если чисел больше — в многомерной. Многомерные системы графически уже не изобразишь, но их можно представить математически, и с ними в том числе работают ученые разных отраслей.

Вектор в информатике

В науке о данных, машинном обучении и других направлениях IT векторы изображают немного иначе. Тут их проще представлять как структуру данных, где хранится определенное количество чисел, — что-то вроде упорядоченного массива.

Более специфичное представление векторов зависит от отрасли. Например, в геймдеве могут использоваться понятия из физики, а в компьютерной графике — из геометрии. Но это только общие примеры. В реальности использование, как мы уже говорили, намного шире.

Реализация векторов в программировании

В самом простом случае вектор можно представить как упорядоченный массив. Например, динамический массив в C++ — тип данных vector, который считается одним из базовых. Но для описания таких структур могут существовать и специальные типы данных, заточенные под математику, науку о данных и другие направления.

Особые типы могут описывать и более сложные структуры, основанные на векторах: тензоры, матрицы и многое другое. Они могут быть собраны в отдельный математический модуль языка или в библиотеку, разработанную специально для того или иного направления. Например, для Python существуют NumPy и SciPy.

Частые вопросы о векторах