Sqrt-декомпозиция

Корневая декомпозиция, она же sqrt-декомпозиция или корневая эвристика, — это метод, который помогает проводить ассоциативные операции на отрезках. Ассоциативными называют операции с тремя и более элементами, которые выполняются последовательно, и порядок действий там не важен. Также корневой декомпозицией называют соответствующие структуры данных.

Если представить структуру данных, например массив, как отрезок из множества точек, то корневая декомпозиция дает возможность, например, находить суммы точек на этих отрезках или добавлять в них элементы. Использование этого метода эффективнее, чем решение «в лоб». Есть и более оптимальные решения с точки зрения затраты ресурсов, но корневая оптимизация лежит в основе ряда других методов, так что знать о ней стоит.

Кто пользуется sqrt-декомпозицией

Методика бывает нужна разработчикам, которые имеют дело с хранением данных и с операциями над ними. Это один из способов оптимизировать работу алгоритмов. Необходимость работать с ней может встретиться в направлениях IT, связанных с математикой и сложной оптимизацией.

Sqrt-декомпозиция также применяется в так называемом соревновательном программировании, например в олимпиадах.

Для чего нужна корневая оптимизация

  • Для выполнения ассоциативных операций: последовательного сложения, умножения, поиска максимума, минимума или наибольшего общего делителя среди элементов на отрезке.
  • Для поиска подстроки или подмассива внутри структуры данных и операций с ними.
  • Для быстрого изменения значений в той или иной точке отрезка, а также вставки и удаления элементов.
  • Для решения практических задач обращения к структуре данных — так, чтобы вычисления не отнимали слишком много времени и аппаратных ресурсов.
  • Для работы с графами и деревьями — также при выполнении ассоциативных операций.
  • Как составная часть решения более сложных задач, чисто теоретических или практических.

Задачи, требующие применения корневой декомпозиции, могут в теории встретиться при решении практических задач, например в геймдеве или при создании нагруженных приложений, работающих с памятью.

Что такое ассоциативные операции

Ассоциативность — свойство некоторых операций: если несколько одинаковых операций последовательно выполняется с несколькими элементами, то их можно выполнять в любом порядке. Проще говоря, в любом месте формулы можно поставить скобки, и результат не изменится. Такие операции — ассоциативные. Например:

  • a + (b + c) = (a + b) + c;
  • a * (b * c) = (a * b) * c.

Сложение и умножение — самые очевидные примеры, но на самом деле таких операций больше. Поиск максимума, минимума или наибольшего общего делителя для ряда чисел — тоже ассоциативные операции.

Не стоит путать это свойство с коммутативностью — возможностью переставлять местами аргументы, когда «от перемены мест слагаемых сумма не меняется».

Что такое sqrt и декомпозиция

Для начала разберемся, что такое sqrt. Это сокращение от square root, «квадратный корень». Обычно сокращение используют в программировании для обозначения операций по нахождению корня или алгоритмов, которые с ними связаны. Sqrt-декомпозиция — второй случай: это не поиск квадратного корня как такового, а метод, для реализации которого нужно иметь дело с квадратными корнями.

Декомпозиция в общем смысле — разбиение на более мелкие составляющие. Например, декомпозиция задачи — это разделение большого задания на маленькие шаги. Соответственно, sqrt-декомпозиция — по сути, разделение большого отрезка на подмножества с использованием квадратных корней. Сейчас разберемся подробнее, как это работает.

Как устроена корневая оптимизация

Представим, что у нас есть массив a, и с подмножеством его элементов от a[x] до a[y] нужно что-то сделать — например, найти их сумму или вставить новый элемент. Запросов на подобные действия может быть много, причем для каждого — свои значения x и y. Всего в массиве n элементов.

Простейшее решение. С первого взгляда решение кажется простым: нужно перебрать элементы от a[x] до a[y] в цикле и выполнить требуемое действие для каждого из них. Это действительно самый простой способ, но он же наименее оптимальный. В некоторых ситуациях, особенно если массив большой, выполнение такого алгоритма займет очень много времени.

Разделение. Чтобы оптимизировать решение таких задач, нужна корневая оптимизация. Ее идея в том, чтобы разделить массив на отрезки длиной в квадратный корень из n. Если корень из n — дробное значение, оно округляется в большую сторону. Количество таких отрезков также будет примерно равно корню из n — это следует из самого математического определения квадратного корня. Получается, длина одного отрезка и количество отрезков — одно и то же число.

Структура, которая получается после разделения, называется корневой декомпозицией — так же, как и весь подход.

Совершение операций. Операции сложения, умножения и другие в результате проводятся не над целым массивом, а над его отрезками длиной в квадратный корень. Сразу после разделения операция, скажем, последовательного сложения проводится для каждого отрезка. Получается набор отрезков-блоков, для каждого из которых уже подсчитана общая сумма.

Теперь, если понадобится подсчитать сумму на любом произвольном участке массива, этот участок можно представить как набор блоков или их кусочков. Если нужное подмножество от a[x] до a[y] уместит в себя целый блок или даже несколько, это серьезно сократит количество операций — суммы для блоков уже подсчитаны. Кусочки-«хвостики» из других блоков можно просто подсчитать вручную. Это не окажет серьезного влияния на скорость выполнения.

Но надеяться, что подмножество для расчета суммы целиком поместит в себе какой-то блок, нельзя. В худшем случае оптимизации не будет. Поэтому расчеты производятся иначе.

Расчеты для сложения. Чтобы оптимально подсчитать сумму на участке от a[x] до a[y] при корневой декомпозиции, используется такая формула: sum[x; y] = sum[0, y] – sum[0; x-1]. То есть:

  • сначала подсчитывается сумма элементов от начала массива до a[y], то есть до конечной точки нужного участка;
  • потом подсчитывается сумма от начала массива до a[x-1], то есть до элемента, стоящего перед начальной точкой нужного участка;
  • из первой суммы вычитается вторая. Согласно правилам арифметики полученное число и есть сумма элементов от a[x] до a[y].

Такой подход позволяет легко оперировать полученными при декомпозиции блоками: складывать и вычитать их, а не элементы поочередно. Оставшиеся «хвостики» можно считать вручную: выше мы уже говорили, что на скорость выполнения они практически не влияют.

Расчеты для других операций. Если вместо сложения нужно проводить другие операции, например умножение или поиск максимума, формула может быть немного другой. Иногда ее дополнительно усложняют для оптимизации тех или иных действий. Но она существует практически для любых ассоциативных операций — тех, для которых и используют корневую декомпозицию.

Особенности корневой декомпозиции

  • Метод подходит только для операций, в которых не важен порядок работы с элементами. Например, с вычитанием корневую оптимизацию использовать вряд ли получится.
  • Sqrt-декомпозиция выгодно отличается от многих других структур тем, что изменять элементы в декомпозированном массиве очень легко. Не нужно пересчитывать хэш-суммы или перебирать структуру, как, например, в дереве. Достаточно просто изменить элемент, обратившись к нему по индексу, а потом соответствующим образом изменить сумму отрезка, в котором этот элемент находится.
  • Для некоторых операций эффективность такова, что выполнить их на декомпозированном массиве всегда можно за фиксированное количество времени. Их объединяют два свойства: наличие обратной операции и коммутативность, то есть возможность переустанавливать аргументы.

Примеры задач, где используется sqrt-декомпозиция

Сложные операции с массивами. Уже упомянутые сложение, умножение, поиск максимумов и минимумов, вставка элемента или что-либо еще — вариантов операций много. Главное правило — ассоциативность.

Ответы на запросы. Метод можно использовать, если структуру данных не нужно менять или что-то подсчитывать, а надо просто отвечать на поступающие запросы о тех или иных участках. Например, сколько элементов на участке от a[x] до a[y].

Декомпозиция запросов. Массив — не единственная сущность, на которой можно применить декомпозицию. Если к какой-то системе обращается много запросов разных типов, их тоже можно декомпозировать и разбить на блоки.

Работа с графами и деревьями. Sqrt-декомпозицию можно использовать для решения задач, связанных с графами или деревьями. Например, с ее помощью можно находить на графе многоугольники или структурировать запросы на его модификацию.

Освойте новую профессию

(рейтинг: 5, голосов: 5)
Добавить комментарий